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【冲刺】2024 年北京师范大学 070205 凝聚态物
理《715 量子力学》考研终极预测 5 套卷
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目录
【冲刺】2024 年北京师范大学 070205 凝聚态物理《715 量子力学》考研终极预测 5 套卷（一） .......4
【冲刺】2024 年北京师范大学 070205 凝聚态物理《715 量子力学》考研终极预测 5 套卷（二）.....11
【冲刺】2024 年北京师范大学 070205 凝聚态物理《715 量子力学》考研终极预测 5 套卷（三）.....19
【冲刺】2024 年北京师范大学 070205 凝聚态物理《715 量子力学》考研终极预测 5 套卷（四）.....24
【冲刺】2024 年北京师范大学 070205 凝聚态物理《715 量子力学》考研终极预测 5 套卷（五）.....29
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【冲刺】2024 年北京师范大学 070205 凝聚态物理《715 量子力学》考研终极预测 5 套卷
（一）
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一、计算题
1．
已知条件：电子初态为基态
，末态为
。电子与电场的相互作用能量为
，可以看成微扰。
待求问题：
时，电子跃迁到 2p 态的概率
相互联系：跃迁概率为
。
，其中
(1)
【答案】微扰矩阵元为
，其中
与时间无关。因此概率
幅为
(2)
由于
，上式分子中的指数项可以略去，于是有
(3)
总跃迁概率为
(4)
取电场方向为极轴，
，则
(5)
利用关系式
，得到横向矩阵元
(6)
而径向矩阵元为
(7)
将上面的结果代入(5)式后，得到
(8)
上式代入(4)式后，得到跃迁概率为
(9)
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2． 一个自旋为 1/2 自旋磁矩为
的粒子置于磁场
又加上沿 y 方向的弱磁场
,求粒子处于
中，粒子处于
自旋态,设 t＞0 时，
自旋态的概率。
【答案】由题意知，本题只需考虑与自旋有关的部分
体系的哈密顿为
由于我们已知粒子在初始时刻(t=0)的自旋态，为了求 t＞0 时刻的自旋态，可先求 的本征值和本征矢
量，在
表象中，易知
故本征方程为
令
，则上述方程的本征值为
相应本征矢(未归一化)为
由于初始自旋态可以写成
由此可得到 t 时刻的归一化的态矢
故粒子处于
的概率为
3． 两个质量为 m 且无相互作用的粒子，位于势阱 V( )=0,当
a/2 时，
，当
时，
若 t=0 时,体系的状态为掌ч心博阅┖电子书
其中
为各粒子的对应 i 能级的能量本征函数，求时刻 t 时体系的状态， 的可能值及相应的概率。
【答案】由于
的本征矢为
，相应的本征值为
一个保守系，所以
这里
，按谱分解原理知， 的可能值和相应的概率为
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，其中
，又因这是
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故
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4． 处于基态的类氢原子经 衰变，核电荷数突然由 Z 变为 Z+1,求原子处于 2s 态的概率。已知类氢原子
定态波函数为
【答案】设 t=0 时发生 衰变，t＞0 时波函数为
其中
衰变后，原子处于 2s 态的概率为
将
与
的表示式代入上式，得
衰变后，原子仍处于基态(1s 态)的概率为
5． 一个质量为 ，角频率为
的线谐振子，受到微扰
(1)用微扰论求能量的 1 级修正；
(2)求能量的严格解，并与(1)的结果比较。
【答案】(1)无微扰线谐振子的哈密顿算符
满足
其中
本征能量的 1 级修正的表达式为
利用公式
可以得到
能量本征值的 1 级修正为
近似到 1 级修正例能量本征值为
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的作用。
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题目要求的是，体系动量大小在
其中
和
之间的概率之和，它是
.
(4)在势阱两壁膨胀前后，体系的能量不可能相同，即体系能量不守恒.从经典力学来看，外力移动势
阱的两壁要做功，使体系的能量发生变化.用量子物理的观点来解释，若
时，两壁移至
处，则体系
的哈密顿算符为
显含时间 t，故体系能量不守恒青岛掌ч心博п阅电子书
5． 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。掌ㅡ心博阅电子书
【答案】线性谐振子本征波函数
，由厄密多项式递推公式
得
比较得
而
利用
(正交归一性)
因此只有
时
所以跃迁选择定则为
6． 自旋 s＝1/2 的电子在恒定磁场
中运动，考虑电子自旋，求哈密顿算符 的表达式，求解 的本
征值问题，如有简并，说明简并情况。
【答案】取电磁场矢势
由于
其中
为守恒量，存在
是
的本征函数，
，电子的哈密顿算符
与
的共同本征态，令
，将上式代入
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的本征方程
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