【强化】2024年 北京农学院025400国际商务《396经济学联考之工程数学—线性代数》考研学霸狂刷520题(单项选择+填空+解答题)

【强化】2024 年北京农学院 025400 国际商务

《396 经济学联考之工程数学—线性代数》考研学

霸狂刷 520 题(单项选择+填空+解答题)

主编：掌心博阅电子书

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一、单项选择题

1． A、B 均为同阶方阵，则一定有_________。

A.

B.

C.

D.

【答案】D

2． 已知 A、B、C、D 为同阶方阵，ABCD=E，则一定有__________。

A.ACBD=E

B.ABDC=E

C.BACD=E

D.CDAB=E

【答案】D

3．

的值为_________。

A.

B.

C.

D.

【答案】C

4． 矩阵

的秩为_________。

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

5． 已知向量组

A.

B.

C.

D.

线性无关，则下列向量组中线性无关的是__________。

（豆丁С华研е电子书）

【答案】A

6． 设

A.

是 4 个同维向量，如果向量组

线性相关，那么__________。

中必有零向量

第 3 页，共 207 页

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B.向量组

必定线性相关

C.向量组

必定线性无关（豆丁华研з电д子书）

D.向量组

必定线性相关

【答案】D

7． 设矩阵 A 为

矩阵，AX=O 是非齐次线性方程组 AX=b 对应的导出组，则以下结论正确的是

_________。

A.若 A=0 只有零解，则 A=8 有唯一解

B.若 A=0 有非零解，则 A=8 有无穷多解

C.若 A=b 有无穷多解，则 A=0 只有零解

D.若 A=b 有无穷多解，则 A=0 有非零解

【答案】D

8． 设 A、B 是 n 阶方阵，则下列关系正确的是__________。

A.

B.

（豆丁华研з电д子书）

C.

D.

【答案】C 青岛掌л心博阅О电子书

9． A、B 为阶对称矩阵，下列陈述不正确的是__________。

A.A+B 为对称矩阵

B.A—B 为对称矩阵

C.AB 为对称矩阵

D.如果 A 可逆，则

为对称矩阵

【答案】C

10．行列式

，则 D=__________。

A.60

B.90

C.120

D.150（豆丁华研з电д子书）

【答案】C

11．设

，

，

，则必有_________。

A.

B.

第 4 页，共 207 页

,

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C.

D.

【答案】C

12．已知 A 有一个 r 阶子式不等于零，则

A.r

B.r+1

C.

D.

【答案】D

13．设

是_________。

，

，

,

A=_________。

A.

B.

C.

D.

【答案】A

14．如果

，则

，

A.8

B.-12

C.-24

D.24

【答案】C

15．行列式

__________。

A.4abcdef

B.abcdef（豆丁华研з电д子书）

C.-4abcdef

D.2abc-2def

【答案】A

16．

是__________二次型。

A.正定

B.负定（豆丁华研з电д子书）

C.不定

D.半正定

【答案】A

第 5 页，共 207 页

=_________。

，则

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17．下列运算错误的是__________(A,B,C 是同阶可逆方阵)

A.

B.

；

C.

（豆丁华研з电д子书）

D.

【答案】B

18．设 A、B 为同阶可逆矩阵，则下列运算中错误的是__________。

A.

（豆丁华研ё电子书）

B.

C.

D.

【答案】C

19．设 A 是 m×n 矩阵，则当__________时，齐次线性方程组 Ax=0 必有非零解。

A.A 中有零元素

B.A 不是零矩阵

C.m>n（豆丁华研р电Ю子书）

D.m

【答案】D 青岛掌а心博阅电子书

20．设

是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，

是相应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解

系，则 Ax=b 的通解可以表示为__________。

A.

B.

（豆丁华研з电д子书）

C.

D.

其中

_

表示两个任意常数.

【答案】B

21．设 A 是 4 阶方阵，其元素均为 1,则 4 的特征值为__________。

A.4,0,0,0

B.1,0,0,0

C.1,1,0,0（豆丁华研з电д子书）

D.1,1,1,1

【答案】A

22．设 A,B,C 均为 n 阶方阵，若由 AB=AC 能推出 B=C,则 A 应满足__________。

A.

B.A=O

C.

D.

（豆丁华研р电子书）

【答案】D

第 6 页，共 207 页

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（3）λ0 为 A 的特征值，则 （k 为正整数）的特征值为__________；

（4）设矩阵 A=

的特征值为λ1 和λ2，则λ1+λ2=__________；

【答案】（1）1，1，﹣1

（2）λ1=1，λ2=﹣1；对应的特征向量分别为

和

（加以 2 是不为零的任意实常数）

（3）

（4）5 青岛掌ㅏ心博阅电子书

96．求向量组

，

，

的秩__________和一个极大无关组__________。

【答案】3、

（豆丁华研б电子┬书）

97．设α=（1，1，0，﹣1）,β=（﹣1，1，0，0），γ=（1，﹣2，0，1），求 2α－β+5γ=__________.

【答案】（8，﹣9，0，3）.

98．设向量组 B 能由向量组 A 线性表示，则 R(A)与 R(B)一定满足__________。

【答案】

（豆丁华研ㅠ电子┨书）

99．设 A 为三阶矩阵，

均不可逆，试求 A 的特征值__________.

【答案】（1）线性无关（2）线性相关（3）线性无关（4）线性相关

100．在次数不超过 2 次的全体实系数多项式构成的线性空间

的过渡矩阵为__________；由 x+1，

【答案】

、

中，由基 1，x， 到基 x+1，

， 到 1，x，x2 的过渡矩阵为__________。

（豆丁华研ㅡ电╤子书）

101．写出以下二次型对应的对称矩阵 A.

（1）

__________；

（2）f（x，y，z）=xy+xz－yz__________；

（3）

__________；

（4）.

（5）

__________；

__________

【答案】（1）A=

（2）A=

第 21 页，共 207 页

，

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（3）

青岛掌ㅏ心博阅电子书

148．矩阵记号表示

二次型__________。

【答案】

（豆丁华研к电子书）

149．在行列式

【答案】

中，元素

、

的余子式为__________，代数余子式为__________。

（豆丁华研ㅓ电子书）

150．若矩阵

，则乘积

【答案】

__________。

（豆丁╟华研ㅕ电子┿书）

151．填空.

（1）已知线性方程组 AX=b 有解，若系数矩阵 A 的秩 r（A）=3，则增广矩阵 的秩

（2）若线性方程组 AX=b 的增广矩阵 经初等行变换化为

则当λ=__________时，该线性方程组有无穷多解；

（3）若线性方程组 AX=b 的增广矩阵

经初等行变换化为

则当α=__________时，此线性方程组无解.

【答案】（1）3（2）2（3）1

第 36 页，共 207 页

=__________；

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（2）A=

=__________；

（3）A=

=__________；

（4）A=

=__________

【答案】（l）λ1=﹣1，

；λ2=6，

（2）λ1=1，

；

；λ2=2（二重），

（3）λ1=﹣2（二重），

；

；λ2=4，

（4）λ1=﹣1，

；λ2=1（二重），

210．求下列矩阵的特征值和特征向量.

（1）

=__________；

（2）

=__________；

（3）

=__________

【答案】（1）

（2）

（3）表示法不唯一，

211．计算下列行列式

（1）

（2）

（3）

（4）

=__________；

=__________；

=__________；

=__________；

【答案】（1）1（2）1（3）-4（4）－abc（5）

（6）0

212．利用矩阵的初等变换求下列矩阵的秩：

（1）

=__________；

第 51 页，共 207 页

；

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252．在

中，取两个基

试求坐标变换公式。

【答案】设

下的坐标是

，在

下的坐标是

或

253．写出由矩阵

所确定的二次型.

【答案】

254．设

，试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化.

【答案】 令

255．计算下面向量的内积:

（1）

;

（2）

【答案】（1）

（2）

256．计算 n 阶行列式

的值.

【答案】将第 n－1 行的－1 倍加到第 n 行，…，将第 1 行的－1 倍加到第 2 行，得

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，有

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283．化二次型

为标准形,并求所作的可逆线性变换.

【答案】二次型对应的矩阵为

则

相应的可逆线性变换为

，标准形为

284．设向量组

和向量

，向量β能否由向量组

线性表示？

若能，求表示的系数.

【答案】设

，即（豆丁华研ㅐ电子书）

方程组的系数行列式

由克莱姆法则知，方程组有唯一解，即向量。能由向量组

利用克莱姆法则可以计算方程组的解为

所以

第 81 页，共 207 页

线性表示，且表示法唯一

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314．判断向量组

>

，

（A）：

的线性相关性。

【答案】设向量组

的对应矩阵为

由于 A 是行阶梯形矩阵，非零行数为 3，故 R（A）=3.因此，向量组

315．用正交线性替换将下面的二次型化为标准形，并写出所作的正交线性替换.

【答案】二次型

的矩阵

A 的特征方程为

由此得到 A 的特征值

对于

，求解齐次线性方程组

利用施密特正交化方法.将

对于

将

正交化，得

，求解齐次性方程组

和

，可得其基础解系为

9

，可得其基础解系

单位化，得青岛掌ㅏ心博阅电子书

令

则

第 96 页，共 207 页

线性无关。

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（2）

的特征值.

【答案】

（1）由特征方程

得 A 的特征值

（2）由 4 的特征值不为零，则 A 可逆，且

由.

的特征值为

，得

即

则

346．求方阵

有特征值

，因此

的逆矩阵

的特征值为 1,1,3.

・

【答案】因为|A|=2≠0,所以 A-1 存在.先求 A 的伴随矩阵 A*

，

，

'9

，

9

，

，

，

所以（豆丁华研щ电子┯书）

，

故

347．求向量组

的

秩和一个极大无关组，并把不属于极大无关组的其余向量用该极大无关组线性表示

【答案】把向量组作为列向量组成矩阵 A,利用初等行变换将 A 化为行最简形矩阵 B:

第 111 页，共 207 页

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故 A，B 的逆矩阵

，

存在，分别用

与

左乘、右乘

因为

所以

372．求λ的值，使齐次线性方程组

有非零解，并求解.

【答案】由于

因此，当

当

或

时，方程组有非零解.

时

故，

（k 为任意常数）.

当

时

故，得一般解为

第 126 页，共 207 页

的两端，得

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为所求的一个基础解系。

方法二

在式①中，设

得

由于

线性无关，所以

线性无关，是所求的一个最大无关组。

401．某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采 1 元钱的煤，煤矿要支付 0.25

元的电费及 0.25 元的运输费，生产 1 元钱的电力，发电厂要支付 0.65 元的煤费，0.05 元的电费及 0.05 元

的运输费;创收 1 元钱的运输费，铁路要支付 0.55 元的煤费及 0.10 元的电费.在某一周内煤矿接到外地金额

为 50000 元的订货，发电厂接到外地金额为 25000 元的订货，外界对地方铁路没有需求,问三个企业间一

周内总产值分别为多少才能满足自身及外界的需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多

少新价值？

【答案】这是一个投入产出分析问题.设

为煤矿本周内的总产值， 为发电厂本周内的总产值，

铁路本周内的总产值，则

第 141 页，共 207 页

为

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（1）当

且…

（2）当

时，

（3）当

时，

，方程组有唯一解；

，故方程组无解；

时，

，方程组有无穷多解，此时

故，方程组的通解为

（如为任意实数）.

比较解法一和解法二，通常解法一较简单，但解法一只适用于系数矩阵是方阵的情形，而解法二则可

适用于更一般的情形.

432．已知向量现

，判断向量组

的线性相关性.若相关，

试将一个向量用其余向量线性表示.

【答案】对矩阵

因为

433．设

施以初等行变换化成行阶梯形矩阵：

，即向量组的秩小于向量组中向量的个数，所以向量组

，问 a 为何值时，矩阵 A 能对角化？

【答案】

得

434．已知向量组

第 156 页，共 207 页

线性相关.

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463．设方程组

，试问 a,b,c 满足什么条件时，方程组有唯一解，并求出唯一解.

【答案】

显然，当 a,b,c 互不相等时，，

同理可得

该方程组有唯一解.又

，于是

464．

设 3 阶方阵满足

【答案】由

上式两边右乘

，且

，求 B

'，得

，得（豆丁华研ъ电子书）

・

由于

，则

，即

465．判别二次型

的正定性。

【答案】

第 171 页，共 207 页

可逆，所以青岛掌з心博阅电д子书

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；

于是有

利用公式

求解逆矩阵的方法称为伴随矩阵法.对于较高阶的矩阵，用伴随矩阵法求逆矩

阵计算量太大.下一章会介绍一种较为简便的方法求解逆矩阵.

489．

的下列子集是否构成子空间？为什么？

（1）

（2）

【答案】（1）不构成子空间

因为对

有

即

对矩阵加法不封闭，所以

（2）因

，即

不构成子空间。

非空，且对任意

有

于是

满足

，即

对任意

有

故

的子空间。青岛掌я心博阅电子书

是

•且

，即，

490．设矩阵

第 186 页，共 207 页

。

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令

，于是

为所求通解，其中 C 为任意实数。

若

，则齐次线性方程组为

化系数矩阵为行最简形矩阵，得

令

，于是

为所求通解，其中 C 为任意实数。

511．计算 n 阶行列式

我们称上述行列式为下三角行列式，它的特点是在到所成的主对角线以上的元素全为 0，即当

元素

时，

。

【答案】展开式中的一般项为

在第一行中，除了

由于已取

外其余元素全为 0，故取

， 故只能取

；在第二行中，除

； 同理 ， 只需考虑

外，其余各项均为 0。由于

外其余元素全为 0，但

， 因此 ， 在 D 的展开式中除乘积

，所以该项符号为正，故有，即

512．求矩阵 A 和 B 的秩，其中

，

【答案】在矩阵 A 中，容易看出一个 2 阶子式

经计算可知

，

而矩阵 A 的 3 阶子式只有一个

，因此

第 201 页，共 207 页

，即

，

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